定义
力矩
moment = F × x
The moment of a force about a point is the product of the force and the perpendicular distance from the point to the line of action of the force.
x 的单位是 m，力矩的单位是 N m。答题时要写顺时针还是逆时针。x 是点到力的作用线的垂直距离，不是沿杆量到施力点的斜边。
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力矩
爱德思国际 A-Level · 物理 · 单元 1 · WPH11 力学与材料 · 18 分钟
学习目标
- 力矩 = 力 × 垂直距离
- 力矩原理
- 重心
- 扩展物体的平衡
1. 力矩：定义与计算
★★☆☆☆5 min
Moment of a force
力矩是力让物体绕某一点转动的效果。爱德思考纲写的是 moment of a force = F x。只报力的大小不够，还要报这力的作用线离转轴有多远。
moment = F × x
例题
杆长 0.80 m，一端为轴。在另一端施加 20 N，力与杆成 90°。求力矩。
- 力与杆垂直，垂直距离就是杆长：x = 0.80 m。
- moment = 20 × 0.80 = 16 N m。
- 方向按题目的转向写 clockwise 或 anticlockwise。
16 N m
2. 垂直距离
★★★☆☆5 min
Perpendicular distance
力不跟杆垂直时，不能把杆长直接乘上去。先作出转轴到力的作用线的垂线，这段才是 x。力与杆的夹角是 θ 时，x = L sin θ。
作用线正好穿过转轴时，垂直距离是 0，力矩是 0，没有转动效果。
moment = F L sin θ
例题
杆长 0.50 m，一端为轴。另一端的力是 12 N，力与杆成 30°。求力矩。
- θ = 30°，垂直距离 x = 0.50 × sin 30° = 0.25 m。
- moment = 12 × 0.25 = 3.0 N m。
- 也可以先取垂直于杆的分量 12 sin 30°，再乘杆长，结果一样。
3.0 N m
sin 和 cos 看夹角怎么定义。θ 是力与杆的夹角时用 sin。题干如果给的是力与竖直方向的夹角，要先画图再决定。
3. 重心
★★☆☆☆4 min
Centre of gravity
算扩展物体的力矩时，整段重力可以看成集中在一个点上。这个点就是 centre of gravity。
形状规则、密度均匀的物体，重心在几何中心：均匀杆在中点，均匀圆板在圆心。重心的竖直线落在支撑面内，物体才不容易翻倒。竖直线落到支撑面外面，重力会提供一个翻转的力矩。
定义
重心
The centre of gravity of a body is the point at which the weight of the body may be considered to act.
均匀杆、均匀板：重心在几何中心。球在球心。密度不均匀时，重心偏向质量更大的一侧，不能默认在正中间。
例题
均匀杆长 1.20 m，重 8.0 N，左端为轴，杆水平。重力的力矩是多少？
- 均匀杆的重心在中点，离左端 0.60 m。
- 杆水平、重力竖直向下，垂直距离就是 0.60 m。
- moment = 8.0 × 0.60 = 4.8 N m。
4.8 N m
4. 力矩原理与平衡
★★★★☆7 min
Principle of moments
扩展物体要静止，平动和转动都得停。合力为零，并且对同一个点，顺时针力矩等于逆时针力矩。
列式时对一个支点取矩，这个支点上的力力臂是 0，方程里就少一个未知数。轻杆表示杆自身重量为 0。均匀杆不是轻杆，重力在中点。
定义
力矩原理
For a body in equilibrium, the sum of the clockwise moments about a point equals the sum of the anticlockwise moments about the same point.
定义
平衡
A body is in equilibrium when the resultant force is zero and the resultant moment about any point is zero.
Σ clockwise moments = Σ anticlockwise moments
例题
均匀梁长 4.0 m，重 80 N，两端支在 A、B。离 A 1.0 m 处再放 120 N。求 A、B 的支持力。
- 竖直方向：R_A + R_B = 80 + 120 = 200 N。
- 对 A 取矩。A 处支持力的力矩是 0。梁的重量在中点，离 A 2.0 m。
- 顺时针：120 × 1.0 + 80 × 2.0 = 280 N m。逆时针：R_B × 4.0。
- R_B = 280 / 4.0 = 70 N。R_A = 200 − 70 = 130 N。
R_A = 130 N，R_B = 70 N，都竖直向上
5. 常见陷阱
★★★★☆4 min
Common mistakes
WPH11 这一节丢分，通常不是公式记错，而是把距离、方向或平衡条件用错。
!
错误做法 力不垂直时，仍把杆长 L 直接乘上去。
应当 x 是 perpendicular distance，从转轴到 line of action 的垂线。θ 是力与杆的夹角时，用 F L sin θ。
!
错误做法 sin 和 cos 看哪边顺手就用哪边。
应当 先画图，确认 θ 是力与杆的夹角，还是力与竖直方向的夹角，再决定分量。
!
错误做法 把 light beam 和 uniform beam 当成同一种杆。
应当 light / weightless 的重量按 0。uniform 的重量在中点，必须写进力矩方程。
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错误做法 换了取矩点，却把另一边的距离留着，顺时针逆时针混在不同点上。
应当 clockwise 和 anticlockwise 必须 about the same point。
!
错误做法 漏掉梁自己的重量，或把 centre of gravity 放在端点。
应当 均匀梁的重量作用在几何中心。漏掉这一项，两端支持力会整组算错。
!
错误做法 力矩的单位写成 J。
应当 这里的单位是 N m，表示转动效果。能量的 N m 才叫 joule。
!
错误做法 只写 resultant force = 0，就说物体处于 equilibrium。
应当 扩展物体还要写：resultant moment about any point = 0。
6. 速查表
★☆☆☆☆2 min
Quick reference
卷子上先判断问的是 Define、垂直距离，还是对某一点列力矩方程。
| 力矩moment of a force | F × perpendicular distance。考纲写法 moment = F x。单位 N m，不是 J。 |
|---|---|
| 垂直距离perpendicular distance | 从转轴到 line of action 的最短距离。力与杆垂直时，才等于杆长。 |
| 斜向的力force at an angle | θ 是力与杆的夹角时，moment = F L sin θ。只用垂直于杆的分量。 |
| 力矩原理principle of moments | 物体平衡时，对同一个点：sum of clockwise moments = sum of anticlockwise moments。 |
| 重心centre of gravity | The point at which the weight of the body may be considered to act。均匀杆在中点。 |
| 平衡equilibrium | Resultant force = 0，并且 resultant moment about any point = 0。 |
| 取矩taking moments | 对未知力的作用点取矩，该力的 moment 为 0，可以从方程里消掉。 |
Define · 2 marks
Define the moment of a force about a point.
- 写出 force × perpendicular distance。
- 点明 perpendicular distance 是从该点到力的作用线，不是随便一条边。
The moment of a force about a point is the force multiplied by the perpendicular distance from the point to the line of action of the force.
读题：command words
- State写一句结论，不要展开。
- Define用精确意义，不要只举例子。
- Calculate公式、代入、单位、有效数字。
- Show that从已知推到题目给的结果，过程要看得见。
- Explain因为什么，所以什么。复述定义不算解释。
- Sketch标截距、顶点或方向，不必描很多点。
深入阅读
SYLLABUS
Edexcel IAL Physics 官方考纲
Pearson Edexcel International A Level Physics (2018) · Unit 1 WPH11 · 1.15 moment = Fx · 1.16 centre of gravity and the principle of moments
下一步
力矩和重心是爱德思 IAL 单元 1 里处理扩展物体的基础。材料一章要把力画在正确的作用点上，功和能要分清 N m 和 J，单元 4 的圆周运动也还是力产生的转动效果。WPH11 里这一节经常出 Define，也出均匀梁两端支持力的计算。
读完了？练一练这一章
做这一章的题，做完知道自己哪块没稳。